Question

8．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求直线PB与平面ABCD所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；
（2）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，设PA=AB=2a，则AD=2$\sqrt{2}$a．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PB与平面ABCD所成角．

解答 证明：（1）∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，
∵AB∥CD，∴AB⊥PD，
又∵PA∩PD=P，且PA?平面PAD，PD?平面PAD，
∴AB⊥平面PAD，又AB?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD；
解：（2）∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，
由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，
在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，
设PA=AB=2a，则AD=2$\sqrt{2}$a．
取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，
以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则B（$\sqrt{2}a$，2a，0），P（0，0，$\sqrt{2}a$），$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{2}a，2a，-\sqrt{2}a$），
平面ABCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
设直线PB与平面ABCD所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{PB}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{8}a}$=$\frac{1}{2}$，∴θ=30°．
∴直线PB与平面ABCD所成角为30°．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求线面角，是中档题．