Question

6．设点A的极坐标为（ρ₁，θ₁）（ρ₁≠0，0＜θ₁＜$\frac{π}{2}$），直线l经过A点，且倾斜角为α．
（1）证明：l的极坐标方程是ρsin（θ-α）=ρ₁sin（θ₁-α）；
（2）若O点到l的最短距离d=ρ₁，求θ₁与α间的关系．

Answer 1

分析 （1）如图所示，设直线l上的任意一点P（ρ，θ）．在△OAP中，利用正弦定理即可得出．
（2）O点到l的短距离d=ρ₁，可得OA⊥l．画图即可得出．

解答 （1）证明：如图所示，
设直线l上的任意一点P（ρ，θ）．
在△OAP中，由正弦定理可得：$\frac{{ρ}_{1}}{sin（α-θ）}$=$\frac{ρ}{sin[{θ}_{1}+π-α]}$，
化为ρsin（θ-α）=ρ₁sin（θ₁-α），
∴l的极坐标方程是ρsin（θ-α）=ρ₁sin（θ₁-α）．
（2）解：∵O点到l的短距离d=ρ₁，则OA⊥l．
∴θ₁=α±$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程的应用、正弦定理、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．