Question

11．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x，（x＞0）}\\{-{e}^{-x}（x≤0）}\end{array}\right.$，若关于P的方程f[f（x）]+m=0恰有两个不等实根x₁、x₂，则x₁+x₂的最小值为1-ln2．

Answer 1

分析 可判断f（x）＜0恒成立；从而化简方程为f（x）=-lnm，从而作图辅助，可知存在实数a（a≤-1），使-2x₁=a=-${e}^{-{x}_{2}}$，从而可得x₁+x₂=-$\frac{a}{2}$-ln（-a），再构造函数，求导，从而确定最值．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x，（x＞0）}\\{-{e}^{-x}（x≤0）}\end{array}\right.$，∴f（x）＜0恒成立；
∴f[f（x）]=-e^-f（x），
∵f[f（x）]+m=0，
∴-e^-f（x）+m=0，即f（x）=-lnm；
作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x，（x＞0）}\\{-{e}^{-x}（x≤0）}\end{array}\right.$，y=-lnm的图象如下，
，
结合图象可知，存在实数a（a≤-1），使-2x₁=a=-${e}^{-{x}_{2}}$，
故x₁+x₂=-$\frac{a}{2}$-ln（-a），
令g（a）=-$\frac{a}{2}$-ln（-a），则g′（a）=-$\frac{2+a}{2a}$，
故当a=-2时，x₁+x₂有最大值1-ln2；
故答案为：1-ln2．

点评 本题考查了复合函数与分段函数的应用，同时考查了导数的综合应用及最值问题，应用了数形结合的思想及转化构造的方法．