Question

20．已知圆C：（x-a）²+（y-a）²=2，（a＞0）与直线y=2x相交于P，Q两点，则当△CPQ的面积最大时，实数a的值为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 求出圆的圆心坐标与半径，利用圆心到直线的距离与半弦长求解三角形的面积，然后求出最大值即可得到实数a的值．

解答 解：圆C：（x-a）²+（y-a）²=2（a＞0）的圆心（a，a）半径为$\sqrt{2}$，
圆心到直线y=2x的距离d=$\frac{|2a-a|}{\sqrt{5}}=\frac{a}{\sqrt{5}}$，半弦长为：$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-（\frac{a}{\sqrt{5}}）^{2}}=\sqrt{2-\frac{{a}^{2}}{5}}$，
∴△CPQ的面积S=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{2-\frac{{a}^{2}}{5}}$•$\frac{a}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{5}（2-\frac{{a}^{2}}{5}）}$，故当$\frac{{a}^{2}}{5}=1$，即a=$\sqrt{5}$时，S取得最大值为1，
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系的应用，三角形面积的最值的求法，点到直线的距离公式的应用等知识，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．