Question

16．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0）关于直线y=$\frac{b}{c}$x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 设出Q的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求解离心率即可．

解答 解：设Q（m，n），由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{m-c}=-\frac{c}{b}①}\\{\frac{n}{2}=\frac{b}{c}•\frac{m+c}{2}②}\\{\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}=1③}\end{array}\right.$，
由①②可得：m=$\frac{{c}^{3}-c{b}^{2}}{{a}^{2}}$，n=$\frac{2b{c}^{2}}{{a}^{2}}$，代入③可得：$\frac{（\frac{{c}^{3}-c{b}^{2}}{{a}^{2}}）^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{（\frac{2b{c}^{2}}{{a}^{2}}）^{2}}{{b}^{2}}$=1，
解得e²（4e⁴-4e²+1）+4e²=1，
可得，4e⁶+e²-1=0．
即4e⁶-2e⁴+2e⁴-e²+2e²-1=0，
可得（2e²-1）（2e⁴+e²+1）=0
解得e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力．