Question

8．△ABC的三边长分别为a，b，c，点D为BC边上的中点，下列说法正确的是（　　）

• A． AD＞$\frac{1}{2}$$\sqrt{2（{c}^{2}+{b}^{2}）-{a}^{2}}$
• B． AD=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2（{c}^{2}+{b}^{2}）-{a}^{2}}$
• C． AD＜$\frac{1}{2}$$\sqrt{2（{c}^{2}+{b}^{2}）-{a}^{2}}$
• D． AD≤$\frac{1}{2}$$\sqrt{2（{c}^{2}+{b}^{2}）-{a}^{2}}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，在△ADB和△ADC中有余弦定理的推论求出cos∠ABD、cos∠ADC，由cos∠ABD+cos∠ADC=0整理得答案．

解答 解：如图，

设AD=x，
则$cos∠ADB=\frac{（\frac{a}{2}）^{2}+{x}^{2}-{c}^{2}}{ax}$，$cos∠ADC=\frac{（\frac{a}{2}）^{2}+{x}^{2}-{b}^{2}}{ax}$，
∴cos∠ABD+cos∠ADC=$\frac{\frac{{a}^{2}}{2}+2{x}^{2}-{b}^{2}-{c}^{2}}{ax}=0$，
即$2{x}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}-\frac{{a}^{2}}{2}$，${x}^{2}=\frac{1}{4}（2{b}^{2}+2{c}^{2}-{a}^{2}）$，
∴$x=\frac{1}{2}\sqrt{2（{b}^{2}+{c}^{2}）-{a}^{2}}$．
故选：B．

点评 本题考查余弦定理的应用，考查了三角函数的诱导公式，是基础题．