Question

15．角A、B、C为△ABC的三个内角，函数f（x）=2sin（x-A）cosx+sin（B+C）（x∈R）的图象关于直线x=$\frac{5π}{12}$对称，则A=（　　）

• A． $\frac{5π}{6}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{π}{6}$
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 根据三角形内角和定理和诱导公式化简，结合三角函数的性质，可知x=$\frac{5π}{12}$时，f（x）取得最值．可得A的值．

解答 解：由函数f（x）=2sin（x-A）cosx+sin（B+C）
=2sinxcosxcosA-2cos²xsinA+sinA=sin2xcosA-sinA（cos2x+1）+sinA=sin2xcosA-cos2xsinA
∵函数f（x）关于直线x=$\frac{5π}{12}$对称，
当x=$\frac{5π}{12}$时，f（x）=sin$\frac{5π}{6}$cosA-cos$\frac{5π}{6}$sinA=$\frac{1}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA=sin（A+$\frac{π}{6}$）
若x=$\frac{5π}{12}$时，f（x）取得最小值，即$\frac{π}{6}+A=kπ-\frac{π}{2}$，k∈Z．
∵0＜A＜π
∴A=$\frac{π}{3}$．
若x=$\frac{5π}{12}$时，f（x）取得最大值，即$\frac{π}{6}+A=kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z．
∵0＜A＜π
∴A=$\frac{π}{3}$．
综上可得A=$\frac{π}{3}$．
故选D

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．