Question

5．如图，四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形，E是BC的中点．
（1）求证：AE∥平面PCD；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）证明四边形AECD是平行四边形得出AE∥CD，从而有AE∥平面PCD；
（2）连结DE，BD，设AE∩BD=O，由三线合一证明OP⊥BD，根据勾股定理逆定理证明OP⊥OA，故而OP⊥平面ABCD，于是V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABCD}•OP$．

解答 （1）证明：∵∠ABC=∠BAD=90°，
∴AD∥BC，
∵BC=2AD，E是BC的中点，
∴AD=CE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴AE∥CD，
又AE?平面PCD，CD?平面PCD，
∴AE∥平面PCD．
（2）解：连结DE，BD，设AE∩BD=O，
则四边形ABED是正方形，
∴O为BD的中点，
∵△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形，
∴BD=2$\sqrt{2}$，OB=$\sqrt{2}$，OA=$\sqrt{2}$，PA=PB=2，
∴OP⊥OB，OP=$\sqrt{2}$，
∴OP²+OA²=PA²，即OP⊥OA，
又OA?平面ABCD，BD?平面ABCD，OA∩BD=O，
∴OP⊥平面ABCD．
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABCD}•OP$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（2+4）×2×\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．