题目内容
设直线l1，l2的斜率是一元二次方程（a+2b-3）x2-3（a3-4b2+5）x+3-a-2b=0的两个根，试问是否存在实数a，b使得直线l1⊥l2，若存在，求出a，b满足的关系式．
考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系
专题：直线与圆
分析：设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2．利用一元二次方程的实数根与判别式的关系、根与系数的关系可得：a+2b-3≠0，△＞0，k1k2=
=-1．即可得出．
| 3-a-2b |
| a+2b-3 |
解答：
解：设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2．
∵直线l1，l2的斜率是一元二次方程（a+2b-3）x2-3（a3-4b2+5）x+3-a-2b=0的两个根，
∴a+2b-3≠0，△=9（a3-4b2+5）2-4（a+2b-3）（3-a-2b）＞0，k1k2=
=-1，
△＞0化为（3a3-12b2+15）2+4（a+2b-3）2＞0，
∵a+2b-3≠0，∴上述不等式恒成立．
因此只要a+2b-3≠0，则存在实数a，b使得直线l1⊥l2．
∵直线l1，l2的斜率是一元二次方程（a+2b-3）x2-3（a3-4b2+5）x+3-a-2b=0的两个根，
∴a+2b-3≠0，△=9（a3-4b2+5）2-4（a+2b-3）（3-a-2b）＞0，k1k2=
| 3-a-2b |
| a+2b-3 |
△＞0化为（3a3-12b2+15）2+4（a+2b-3）2＞0，
∵a+2b-3≠0，∴上述不等式恒成立．
因此只要a+2b-3≠0，则存在实数a，b使得直线l1⊥l2．
点评：本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、根与系数的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
下列结论中正确的是（ ）
| A、“x≠1”是“x（x-1）≠0”的充分不必要条件 |
| B、已知随机变量ξ服从正态分布N（5，1），且P（4≤ξ≤6）=0.7，则P（ξ＞6）=0.15 |
| C、将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化 |
| D、某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了解该单位职工的健康情况，应采用系统抽样的方法从中抽取样本 |
将函数f（x）=sin（x+
）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，得到的曲线经过原点，则φ的最小值为（ ）
| π |
| 3 |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
若函数y=ax+b-1（a＞0且a≠1）的图象经过二、三、四象限，一定有（ ）
| A、0＜a＜1且b＜0 |
| B、a＞0且b＞0 |
| C、0＜a＜1且b＞0 |
| D、a＞1且b＜0 |
在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=1，点P是边AB上异于A、B的一点，光线从点P出发，经BC、CA反射后又回到点P（如图所示），若光线QR经过△ABC的重心，则AP=（ ）A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
下列四条性质：
①最小正周期是π；
②图象关于直线x=
对称；
③图象关于点（
，0）对称；
④在[-
，
]上是增函数．
下列函数同时具有上述性质的一个函数是（ ）
①最小正周期是π；
②图象关于直线x=
| π |
| 3 |
③图象关于点（
| π |
| 12 |
④在[-
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
下列函数同时具有上述性质的一个函数是（ ）
A、y=sin（
| ||||
B、y=sin（2x-
| ||||
C、y=cos（2x+
| ||||
D、y=sin（2x+
|
在平行四边形ABCD中，
=（2，0），
=（1，5），则
=（ ）
| AB |
| AC |
| AD |
| A、（1，-5） |
| B、（-1，5） |
| C、（3，5） |
| D、（-5，1） |