Question

设函数f（x）=x-（x+1）ln（x+1）（x＞-1）
（1）求f（x）的最大值；
（2）证明：当n＞m＞1时，（1+n）^m＜（1+m）ⁿ；
（3）证明：当n＞2014，且x₁，x₂，x₃，…，x_n∈R⁺，x₁+x₂+x₃+…+x_n=1时，(

x12

1+x1

+

x22

1+x2

+

x32

1+x3

+…+

xn2

1+xn

)

1

n

＞(

1

2015

)

1

2014

．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式,函数的最值及其几何意义,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用,推理和证明

分析：（1）求导数，确定函数的单调性，即可求f（x）的最大值；
（2）令g(x)=

ln(1+x)

x

，x＞0，确定函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，即可证明结论；
（3）利用柯西不等式，结合（1+n）²⁰¹⁴＜（1+2014）ⁿ，得(1+n)

1

n

＜2015

1

2014

，即可证明结论．

解答： 解：（1）由题意得f′（x）=1-1-ln（1+x）=-ln（1+x）（x＞-1），…（2分）
当-1＜x＜0，即f′（x）＞0时，f（x）单调递增；
当x＞0，即f′（x）＜0时，f（x）单调递减；
∴f（x）的最大值是f（0）=0．…（4分）
（2）令g(x)=

ln(1+x)

x

，x＞0，则g′（x）=

x-(1+x)ln(1+x)

x2(1+x)

由（1）知f（x）=x-（x+1）ln（x+1）在（0，+∞）上是减函数，且f（0）=0，
∴g′（x）＜0在在（0，+∞）恒成立，从而得到函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，
又当n＞m＞0时，∴g（n）＜g（m），得

ln(1+n)

n

＜

ln(1+m)

m

∴mln（n+1）＜nln（m+1），即：（1+n）^m＜（1+m）ⁿ．…（8分）
（3）∵x1，x2，x3，…，xn∈R+，x₁+x₂+x₃+…+x_n=1由柯西不等式知：(

x12

1+x1

+

x22

1+x2

+

x32

1+x3

+…+

xn2

1+xn

)•[(1+x1)+(1+x2)+…+(1+xn)]≥(x1+x2+…+xn)2
∴

x12

1+x1

+

x22

1+x2

+

x32

1+x3

+…+

xn2

1+xn

≥

1

n+1

，
(

x12

1+x1

+

x22

1+x2

+

x32

1+x3

+…+

xn2

1+xn

)

1

n

≥(

1

n+1

)

1

n

…（11分）
∵n＞2014，由（2）知：（1+n）²⁰¹⁴＜（1+2014）ⁿ，得(1+n)

1

n

＜2015

1

2014

，
∴(

1

1+n

)

1

n

＞(

1

2015

)

1

2014

，∴(

x12

1+x1

+

x22

1+x2

+

x32

1+x3

+…+

xn2

1+xn

)

1

n

＞(

1

2015

)

1

2014

．…（14分）

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查柯西不等式，考查学生分析解决问题的能力，难度大．