Question

【题目】已知函数，，则方程所有根的和等于（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

证明函数的图象关于点对称，易知函数在定义域上单调递增.由函数的图象关于原点对称，得函数的图象关于点对称，且函数在定义域上单调递增. 又是方程的一个根. 当时，令，根据零点存在定理和的单调性，知在上有且只有一个零点，即方程在上有且只有一个根.

根据图象的对称性可知方程在上有且只有一个根，且.即可求出方程所有根的和.

设点是函数图象上任意一点，它关于点的对称点为，

则，代入，

得.

函数的图象与函数的图象关于点对称，

即函数的图象关于点对称，易知函数在定义域上单调递增.

又函数的图象关于原点对称，函数的图象关于点对称，且函数在定义域上单调递增.

又是方程的一个根.

当时，令，则在上单调递减.

，

根据零点存在定理，可得在上有一个零点，根据的单调性知在上有且只有一个零点，即方程在上有且只有一个根.

根据图象的对称性可知方程在上有且只有一个根，且.

故方程所有根的和等于.

故选：.