Question

3．已知函数f（x）=sin（$\frac{π}{3}$+4x）+cos（4x-$\frac{π}{6}$）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）求f（x）的最大值、最小值，及其取得最值时自变量的取值集合．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（4x+$\frac{π}{3}$），有三角函数的周期性及其求法可求周期，
（2）利用正弦函数的图象和性质求出单调区间，
（3）根据三角形函数的取值范围，求出最值，以及自变量的取值集合．

解答 解：（1）f（x）=sin（$\frac{π}{3}$+4x）+cos（4x-$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{π}{3}$cos4x+cos$\frac{π}{3}$sin4x+cos4xcos$\frac{π}{6}$+sin4xsin$\frac{π}{6}$=$\sqrt{3}$cos4x+sin4x）=2sin（4x+$\frac{π}{3}$），
T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$，
∴f（x）的最小正周期为$\frac{π}{4}$，
（2）∵-$\frac{π}{2}$+2kπ≤4x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ≤4x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{5π}{24}$+$\frac{1}{2}$kπ≤x≤$\frac{π}{24}$+$\frac{1}{2}$kπ，$\frac{π}{24}$+$\frac{1}{2}$kπ≤x≤$\frac{7π}{24}$+$\frac{1}{2}$kπ，k∈Z，
∴f（x）在[-$\frac{5π}{24}$+$\frac{1}{2}$kπ，$\frac{π}{24}$+$\frac{1}{2}$kπ]为增函数，在[$\frac{π}{24}$+$\frac{1}{2}$kπ，$\frac{7π}{24}$+$\frac{1}{2}$kπ]，k∈Z，为减函数，
（3）当{x|4x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+2kπ}，即{x|x=$\frac{π}{24}$+$\frac{1}{2}$kπ，k∈Z}时，函数f（x）有最大值，最大值为2，
当{x|4x+$\frac{π}{3}$=$\frac{3π}{2}$+2kπ}，即{x|x=$\frac{7π}{24}$+$\frac{1}{2}$kπ，k∈Z}时，函数f（x）有最小值，最小值为-2．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．