Question

函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=

2|x-1|-1，0＜x≤2 1 2 f(x-2)，x＞2

，则g（x）=xf（x）-1在[-6，+∞）上所有零点之和为

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：由已知可分析出函数g（x）是偶函数，则其零点必然关于原点对称，故g（x）在[-6，6]上所有的零点的和为0，则函数g（x）在[-6，+∞）上所有的零点的和，即函数g（x）在（6，+∞）上所有的零点之和，求出（6，+∞）上所有零点，可得答案．

解答： 解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（-x）=-f（x）．
又∵函数g（x）=xf（x）-1，
∴g（-x）=（-x）f（-x）-1=（-x）[-f（x）]-1=xf（x）-1=g（x），
∴函数g（x）是偶函数，∴函数g（x）的零点都是以相反数的形式成对出现的．
∴函数g（x）在[-6，6]上所有的零点的和为0，
∴函数g（x）在[-6，+∞）上所有的零点的和，即函数g（x）在（6，+∞）上所有的零点之和．
由0＜x≤2时，f（x）=2^|x-1|-1，故有f（x）=

2-x  ，0＜x≤1 2x-2  ，1＜x≤2 1 2 f(x-2) ，x＞2

．
∴函数f（x）在（0，2]上的值域为[

1

2

，1]，当且仅当x=2时，f（x）=1．
又∵当x＞2时，f（x）=

1

2

f（x-2），
∴函数f（x）在（2，4]上的值域为[

1

4

，

1

2

]，
函数f（x）在（4，6]上的值域为[

1

8

，

1

4

]，
函数f（x）在（6，8]上的值域为[

1

16

，

1

8

]，当且仅当x=8时，f（x）=

1

8

，
函数f（x）在（8，10]上的值域为[

1

32

，

1

16

]，当且仅当x=10时，f（x）=

1

16

，
故f（x）＜

1

x

在（8，10]上恒成立，g（x）=xf（x）-1在（8，10]上无零点，
同理g（x）=xf（x）-1在（10，12]上无零点，
依此类推，函数g（x）在（8，+∞）无零点．
综上函数g（x）=xf（x）-1在[-6，+∞）上的所有零点之和为8．

点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的零点，函数的图象和性质，其中在寻找（6，+∞）上零点个数时，难度较大，故可以用归纳猜想的方法进行处理，属于中档题．