Question

△ABC中三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足：sin²A-cos²A=，比较b+c与2a的大小．

Answer 1

【答案】分析：解法一：利用sin²A-cos²A=，求出A，分类讨论，利用正弦定理，化边为角，即可得到结论；
解法二：利用sin²A-cos²A=，求出A，分类讨论，利用余弦定理，化角为边，即可得到结论．
解答：（解法一）由题设得，又0＜2A＜2π，所以或，
所以或…（4分）
（1）当时，设
则由正弦定理得，
所以b+c≤2a（时取等号）                   …（8分）
（2）当设
则由正弦定理得，
所以b+c＜2a
综上，当△ABC为等边三角形时，b+c=2a；当△ABC为非等边三角形时，b+c＜2a…（12分）
（解法二）由题设得，又0＜2A＜2π，所以或
所以或…（4分）
（1）当时，由余弦定理得a²=b²+c²-ac，
因为4a²-（b+c）²=4（b²+c²-bc）-（b²+c²+2bc）=3（b-c）²≥0
所以b+c≤2a（当a=b=c时取等号）                      …（8分）
（2）当由余弦定理得a²=b²+c²+ac
因为4a²-（b+c）²=4（b²+c²+bc）-（b²+c²+2bc）=3b²+3c²+2bc＞0
所以b+c＜2a
综上，当△ABC为等边三角形时，b+c=2a；当△ABC为非等边三角形时，b+c＜2a…（12分）
点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．