Question

△ABC中三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足：sin²A-cos²A=

1

2

，比较b+c与2a的大小．

Answer 1

分析：解法一：利用sin²A-cos²A=

1

2

，求出A，分类讨论，利用正弦定理，化边为角，即可得到结论；
解法二：利用sin²A-cos²A=

1

2

，求出A，分类讨论，利用余弦定理，化角为边，即可得到结论．

解答：（解法一）由题设得cos2A=-

1

2

，又0＜2A＜2π，所以2A=

2π

3

或

4π

3

，
所以A=

π

3

或A=

2π

3

…（4分）
（1）当A=

π

3

时，设B=

π

3

+α，C=

π

3

-α(-

π

3

＜α＜

π

3

)
则由正弦定理得

b+c

2a

=

sinB+sinC

2sinA

=

sin( π 3 +α)+sin( π 3 -α)

2sin π 3

=

2sin π 3 cosα

2sin π 3

=cosα≤1，
所以b+c≤2a（A=B=C=

π

3

时取等号）                   …（8分）
（2）当A=

2π

3

设B=

π

6

+α，C=

π

6

-α(-

π

6

＜α＜

π

6

)
则由正弦定理得

b+c

2a

=

sinB+sinC

2sinA

=

sin( π 6 +α)+sin( π 6 -α)

2sin 2π 3

=

2sin π 6 cosα

2sin 2π 3

=

1

3

cosα＜1，
所以b+c＜2a
综上，当△ABC为等边三角形时，b+c=2a；当△ABC为非等边三角形时，b+c＜2a…（12分）
（解法二）由题设得cos2A=-

1

2

，又0＜2A＜2π，所以2A=

2π

3

或

4π

3

所以A=

π

3

或A=

2π

3

…（4分）
（1）当A=

π

3

时，由余弦定理得a²=b²+c²-ac，
因为4a²-（b+c）²=4（b²+c²-bc）-（b²+c²+2bc）=3（b-c）²≥0
所以b+c≤2a（当a=b=c时取等号）                      …（8分）
（2）当A=

2π

3

由余弦定理得a²=b²+c²+ac
因为4a²-（b+c）²=4（b²+c²+bc）-（b²+c²+2bc）=3b²+3c²+2bc＞0
所以b+c＜2a
综上，当△ABC为等边三角形时，b+c=2a；当△ABC为非等边三角形时，b+c＜2a…（12分）

点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．