Question

17．已知函数f（x）=|x-a|，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）≥|x+1|+1的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）+3x≤0的解集包含{x|x≤-1}，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=1时，不等式即|x-1|-|x+1|≥1，利用绝对值的意义求得它的解集．
（Ⅱ）不等式即|x-a|≤-3x，分类讨论求得它的解集，再根据的解集包含{x|x≤-1}，求得a的范围，综合可得结论．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）≥|x+1|+1，即|x-1|≥|x+1|+1，即|x-1|-|x+1|≥1．
由于|x-1|+|x+1|表示数轴上的x对应点到1对应点的距离减去它到-1对应点的距离，
而0.5对应点到1对应点的距离减去它到-1对应点的距离正好等于1，
故不等式f（x）≥|x+1|+1的解集为{x|x＞0.5}．
（Ⅱ）若不等式f（x）+3x≤0，即|x-a|≤-3x，即 $\left\{\begin{array}{l}{-3x≥0}\\{3x≤x-a≤-3x}\end{array}\right.$，
当a=0时，求得x≤0，显然满足条件；
当a＜0时，求得x≤$\frac{a}{4}$，由于它包含{x|x≤-1}，故有$\frac{a}{4}$≥-1，求得-4≤a＜0；
当a＞0时，求得x≤-$\frac{a}{2}$，由于它包含{x|x≤-1}，故有-$\frac{a}{2}$≥-1，求得0＜a≤2．
综上可得，要求的a的取值范围为[-4，2]．

点评 本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．