Question

2．（文科）设A在平面BCD内的射影是直角三角形BCD的斜边BD的中点O，
AC=BC=1，CD=$\sqrt{2}$，
求（1）AC与平面BCD所成角的大小；
（2）异面直线AB和CD的大小．

Answer 1

分析 （1）因为A在平面BCD内的射影是直角三角形BCD的斜边BD的中点O，所以OA是三棱锥的高，在直角三角形AOC中可计算AO，再由OA⊥平面BCD，知∠ACO是AC与平面BCD所成角，由此能求出AC与平面BCD所成角的大小．
（2）取BC中点F，AC中点E，利用三角形中位线定理证明∠EFO即为异面直线AB和CD所成的角，再在△EFO中分别计算三边的长，利用解直角三角形知识即可求得此角．

解答 解：（1）∵A在平面BCD内的射影是直角三角形BCD的斜边BD的中点O，
∴OA是三棱锥的高
∵BC=1，CD=$\sqrt{2}$．
∴OC=OB=OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OA=$\sqrt{A{C}^{2}-O{C}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∵OA⊥平面BCD，∴∠ACO是AC与平面BCD所成角，
∵tan∠ACO=$\frac{AO}{CO}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴∠ACO=30°，
∴AC与平面BCD所成角为30°．
（2）如图，取BC中点F，AC中点E，连接EF，OE，OF
∵EF∥AB，OF∥CD
∴∠EFO即为异面直线AB和CD所成的角
在△EFO中，EF=$\frac{AB}{2}$=$\frac{\sqrt{A{O}^{2}+O{B}^{2}}}{2}$=$\frac{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
OF=$\frac{CD}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，OE=$\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{A{O}^{2}+O{C}^{2}}}{2}$=$\frac{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠FEO=90°，∠EFO=45°
∴异面直线AB和CD所成的角的大小为45°．

点评 本题考查线面角的求法，考查异面直线所成角的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查整体思想、转化化归思想，考查数据处理能力和运用意识，是中档题．