Question

15．直线x=t（t＞0），与函数f（x）=x²+1，g（x）=lnx的图象分别交于A，B两点，则|AB|最小值（　　）

• A． $\frac{1}{2}+ln2$
• B． $\frac{1}{2}+2ln2$
• C． $\frac{3}{2}+2ln2$
• D． $\frac{3}{2}+\frac{1}{2}ln2$

Answer 1

分析 将两个函数作差，得到函数y=f（x）-g（x），再求此函数的最小值即可得到|AB|最小值．

解答 解：设函数y=f（x）-g（x）=x²-lnx+1，求导数得
y′=2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-1}{x}$，
当0＜x＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，y′＜0，函数在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）上为单调减函数，
当x＞时，y′＞0，函数在（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）上为单调增函数，
所以当x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，所设函数的最小值为$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$ln2，
所以|AB|最小值为$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$ln2，
故选：D．

点评 本题主要考查函数最值的求法，利用导数研究函数的极值是解决本题的关键．