Question

20．若函数f（x）的定义域为D内的某个区间I上是增函数，且F（x）=$\frac{f（x）}{x}$在I上也是增函数，则称y=f（x）是I上的“完美函数”，已知g（x）=e^x+x-lnx+1，若函数g（x）是区间[$\frac{m}{2}$，+∞）上的“完美函数”，则正整数m的最小值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 运用导数判断g（x）=e^x+x-lnx+1，与G（x）=$\frac{g（x）}{x}$在[$\frac{3}{2}$，+∞）上都是单调递增函数，再由新定义即可求整数m的最小值．

解答 解：∵g（x）=e^x+x-lnx+1，x＞0，
∴g′（x）=e^x+1-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）单调递增，g′（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$-1＞0，
∴可以得出：g（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上是单调递增．
∵G（x）=$\frac{{e}^{x}+x-lnx+1}{x}$，
∴G′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）+lnx-2}{{x}^{2}}$，x＞0，
设m（x）=xe^x-e^x-2+lnx，
m′（x）=xe^x+$\frac{1}{x}$＞0，m（x）在（0，+∞）上单调递增，
m（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$$\sqrt{e}$-2-ln2＜0，m（1）=e-e-2+0=-2＜0，
m（$\frac{3}{2}$）=$\frac{1}{2}$${e}^{\frac{3}{2}}$-2+ln（$\frac{3}{2}$）＞0，
∴在[$\frac{3}{2}$，+∞）上，有G′（x）＞0成立，
∴函数G（x）=$\frac{g（x）}{x}$在[$\frac{3}{2}$，+∞）上是单调递增函数，
综合判断：g（x）=e^x+x-lnx+1，与G（x）=$\frac{g（x）}{x}$在[$\frac{3}{2}$，+∞）上都是单调递增函数，
g（x）=e^x+x-lnx+1，与G（x）=$\frac{g（x）}{x}$在[1，+∞）上不是都为单调递增函数，
∵函数g（x）是区间[$\frac{m}{2}$，+∞）上的“完美函数”，
∴m≥3，
即整数m最小值为3．
故选C．

点评 本题以新定义的形式考查函数的单调性，考查运用所学知识分析解决新问题的能力，多次构造函数，求解导数，判断单调递增，属于难题．