Question

17．已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=1，f（x）的导数f′（x）＜2（x∈R），则不等式f（x）＜2x-1的解集为（　　）

• A． （-∞，1）
• B． （1，+∞）
• C． （1，2）
• D． （-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=f（x）-2x+1，g'（x）=f′（x）-2＜0，从而可得g（x）的单调性，结合f（1）=1，可求得g（1）=0，然后求出不等式的解集即可．

解答 解：令g（x）=f（x）-2x+1，
∵f′（x）＜2（x∈R），
∴g′（x）=f′（x）-2＜0，
∴g（x）=f（x）-2x+1为减函数，
又f（1）=1，
∴g（1）=f（1）-2+1=0，
∴不等式f（x）＜2x-1的解集?g（x）=f（x）-2x+1＜0=g（1）的解集，
即g（x）＜g（1），又g（x）=f（x）-2x+1为减函数，
∴x＞1，即x∈（1，+∞）．
故选：B．

点评 本题利用导数研究函数的单调性，可构造函数，考查所构造的函数的单调性是关键，也是难点所在，属于中档题．