Question

15．设函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+mx²+1的导函数f′（x），且f′（1）=3．
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=x²+2mx，利用f′（1）=3．求出m，求出切线斜率，切点坐标，得到切线方程．
（2）利用导函数的符号，求解函数f（x）的单调递增区间，递减区间即可．

解答 解：（1）f′（x）=x²+2mx，f′（1）=3，
∴f′（x）=1+2m=3，∴m=1．
∴f（x）=$\frac{1}{3}$x³+x²+1，∴f（1）=$\frac{7}{3}$．
∴切线方程为y-$\frac{7}{3}$=3（x-1），
即3x-3y+4=0．
（2）f′（x）=x²+2x=x（x+2），
令f′（x）＞0，得x＞0或x＜-2，
令f′（x）＜0，得-2＜x＜0，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-2），（0，+∞），递减区间为（-2，0）．

点评 本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调区间的求法，考查计算能力．