Question

3．已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）且当x＞1时，f（x）＞0．
（1）判断函数f（x）在其定义域（0，+∞）上的单调性并证明；
（2）解不等式f（x）+f（x-2）≤3．

Answer 1

分析 （1）设0＜x₁＜x₂⇒$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，依题意，利用单调性的定义可证得，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；
（2）f（x）+f（x-2）≤3?f（x）+f（x-2）≤f（8）?$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-2＞0}\\{x（x-2）≤8}\end{array}\right.$，解之即可．

解答 解：（1）函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．
证明如下：
设0＜x₁＜x₂，则$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，
∵当x＞1时，f（x）＞0恒成立，f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=0，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（$\frac{1}{{x}_{1}}$）=f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；
（2）∵f（x）+f（x-2）≤3=f（8），且函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-2＞0}\\{x（x-2）≤8}\end{array}\right.$，解得：2＜x≤4，
∴不等式f（x）+f（x-2）≤3的解集为{x|2＜x≤4}．

点评 本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法的应用及函数的单调性，考查方程思想与综合运算能力，属于中档题．