已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不断.若存在常数t+tf(x)=0对任意的实数x成立.则称f(x)是回旋函数.其回旋值为t.给出下列四个命题:①函数f(x)=4为回旋函数.其回旋值t=-1,②若y=ax为回旋函数.则回旋值t＞1,③若f为回旋函数.则其最小正周期不大于2,④对任意一个回旋值为t.函数f(x)均有零点．其中正确的命题是 (写� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知定义在R上的函数f（x）的图象连续不断，若存在常数t（t∈R），使得f（x+t）+tf（x）=0对任意的实数x成立，则称f（x）是回旋函数，其回旋值为t，给出下列四个命题：
①函数f（x）=4为回旋函数，其回旋值t=-1；
②若y=a^x（a＞0，且a≠1）为回旋函数，则回旋值t＞1；
③若f（x）=sinωx（ω≠0）为回旋函数，则其最小正周期不大于2；
④对任意一个回旋值为t（t≥0）的回旋函数f（x），函数f（x）均有零点．
其中正确的命题是

（写出所有正确命题的序号）

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：①利用回旋函数的定义即可．②若指数函数y=a^x为阶数为t回旋函数，根据定义求解，得矛盾结论．
③由于f（x）=sinωx是回旋函数，故有：sinω（x+t）+tsinωx=0对任意实数x成立，结论可证．
④t=0时结论显然；当t≠0时先假设存在，利用回旋函数的定义，易得在区间（0，t）上必有一个实根．

解答： 解：对于①函数f（x）=4为回旋函数，则由f（x+t）+tf（x）=0，得4+4t=0，∴t=-1，故结论正确．
对于②，若指数函数y=a^x为阶数为t回旋函数，则a^x+t+ta^x=0，a^t+t=0，∴t＜0，∴结论不成立．
对于③，由于f（x）=sinωx是回旋函数，故有：sinω（x+t）+tsinωx=0对任意实数x成立
令x=0，可得sinωt=0，令x=

，运用两角的和的正弦公式可得可得cosωt=-t，
由

sinωt=0

cosωt=-t

，得t=±1，ω=kπ（k为整数），∴T=|

|≤2，∴结论正确；
对于④，如果t=0，显然f（x）=0，则显然有实根．下面考虑t≠0的情况．
若存在实根x₀，则f（x₀+t）+tf（x₀）=0，即f（x₀+t）=0说明实根如果存在，那么加t也是实根．因此在区间（0，t）上必有一个实根．
则：f（0）f（t）＜0，由于f（0+t）+tf（0）=0，则f（0）=-

f(t)

，
只要t＞0，即可保证f（0）和f（t）异号．
综上t≥0，即对任意一个阶数为t（t≥0）的回旋函数f （x），函数f（x）均有零点，故结论正确．
故答案为：①③④．

点评：本题考查新定义的理解和运用，考查函数的周期、函数的零点注意转化为函数的图象的交点个数，考查数形结合的能力，以及运算能力，属于中档题