Question

2．已知（ax-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ（a∈R，n∈N^*）展开式的前三项二项式系数之和为16，所有項的系数之和为1．
（1）求n和a的值；
（2）展开式中是否存在常数项？若有，求出常数项；若没有，请说明理由；
（3）求展开式中二项式系数最大的项．

Answer 1

分析 （1）求出二项式的前三项，解方程可得n=5，再令x=1，可得所有項的系数之和，解方程可得a；
（2）求出二项式的通项公式，化简合并，可令指数幂为0，解方程即可判断存在性；
（3）由n为奇数，可得中间项有两项的二项式系数最大，运用通项公式计算即可得到所求．

解答 解：（1）（ax-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ（a∈R，n∈N^*）展开式的前三项二项式系数之和为16，
可得${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$+${C}_{n}^{2}$=16，即为1+n+$\frac{1}{2}$n（n-1）=16，
解得n=5（-6舍去）；
由所有項的系数之和为1，可令x=1，可得
（a-1）ⁿ=1，即为（a-1）⁵=1，解得a=2，
则n=5，a=2；
（2）（2x-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁵展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{5}^{r}$（2x）^5-r（-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）^r（r=0，1，2，3，4，5）
=${C}_{5}^{r}$2^5-r（-1）^rx${\;}^{5-\frac{3}{2}r}$，
令5-$\frac{3}{2}$r=0，即3r=10，r=$\frac{10}{3}$不为正整数，
则展开式中不存在常数项；
（3）由于n=5，（2x-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁵展开式共有6项，
则展开式中二项式系数最大的项为T₃和T₄，
即为T₃=${C}_{5}^{2}$2^5-2（-1）²x²=80x²，
T₄=${C}_{5}^{3}$2^5-3（-1）³x${\;}^{\frac{1}{2}}$=-40x${\;}^{\frac{1}{2}}$．

点评 本题考查二项式定理的运用：求指定项和二项式系数最大项，注意运用二项式的展开式的通项公式，考查方程思想和化简整理的运算能力，属于中档题．