题目内容

17．（Ⅰ）求证：$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$＜2$\sqrt{5}$
（Ⅱ）若a，b，c是实数，求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca．

分析 （I）使用分析法证明；
（II）利用不等式的性质累加即可结论．

解答 证明：（Ⅰ）∵$\sqrt{3}+\sqrt{7}$和2$\sqrt{5}$都是正数，
故要证$\sqrt{3}+\sqrt{7}$$＜2\sqrt{5}$，
只要证   （$\sqrt{3}+\sqrt{7}$）2＜（2$\sqrt{5}$）2，
只需证：10+2$\sqrt{21}$＜20，
即证：$\sqrt{21}$＜5，
即证：21＜25，
因为21＜25显然成立，
所以原不等式成立．
（II）∵a2+b2≥2ab，a2+c2≥2ac，b2+c2≥2bc，
∴2a2+2b2+2c2≥2ab+2ac+2bc，
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca．

点评 本题考查了不等式的证明方法，属于基础题．

练习册系列答案
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6．某校高三参加第一次诊断考试后，随机抽取了10名学生的数学成绩（单位：分），用茎叶图列举出来如图．
（1）求抽取样本的平均数$\overline{x}$和样本方差s2；
（2）对所有学生得成绩统计发现，数学成绩X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数$\overline{x}$，σ2近似为样本方差s2，若从所有学生中随机抽取1名，求该生数学成绩在（89.7，120.3）的概率．
附：$\sqrt{106}$≈10.30，P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．
8．设函数$f（x）=2\sqrt{3}{sin^2}x-{（sinx-cosx）^2}（x∈R）$．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，得到函数y=g（x）的图象，求$g（-\frac{π}{3}）$的值．
5．设a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列四个命题中错误的是（　　）
A．若a⊥b，a⊥α，b?α，则b∥αB．若a∥α，a⊥β，则α⊥β
C．若a⊥β，α⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β
12．如图，ABC-A'B'C'为直三棱柱，M为CC的中点，N为AB的中点，AA'=BC=3，AB=2，AC=$\sqrt{13}$．
（1）求证：CN∥平面AB'M；
（2）求三棱锥B'-AMN的体积．
2．如图，圆锥的高PO=$\sqrt{2}$，底面⊙O的直径AB=2，C是圆上一点，且∠CAB=30°，D为AC的中点，则点B到平面PAC的距离（　　）
A．$\frac{1}{2}$B．$\frac{2\sqrt{2}}{3}$C．$\frac{\sqrt{2}}{3}$D．1
9．若tanα•tanβ=3，且$sinα•sinβ=\frac{3}{5}$，则cos（α-β）的值为（　　）
A．$-\frac{2}{5}$B．$\frac{2}{5}$C．$\frac{4}{5}$D．1
6．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（　　）
A．若m⊥n，m⊥α，n?α，则n∥αB．若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m?α
C．若m∥α，α∥β，则m∥βD．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
7．已知随机变量X服从正态分布N（1，σ2），若P（X＞-2）=0.9，则P（1＜X＜4）=（　　）
A．0.2B．0.3C．0.4D．0.5

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