题目内容

已知函数 $数学公式$ （ω＞0， $数学公式$ ．其图象的最高点与相邻对称中心的距离为 $数学公式$ ，且过点 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求函数f（x）的达式；
（Ⅱ）在△ABC中．a、b、c分别是角A、B、C的对边， $数学公式$ ， $数学公式$ ，角C为锐角．且满足2a=4asinC-csinA，求c的值．

解：（Ⅰ）由于 $\text{[math]}$ ．（2分）
∵最高点与相邻对称中心的距离为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，即T=π，（3分）
∴ $\text{[math]}$ ，∵ω＞0，∴ω=2．（4分）
又f（x）过点 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．（5分）
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．（6分）
（Ⅱ）2a=4asinC-csinA，由正弦定理可得 2sinA=4sinAsinC-sinCsinA，解得 $\text{[math]}$ ．（8分）
又∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．（9分）
又 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，∴b=6，（11分）
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=21，∴ $\text{[math]}$ ．（12分）
分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，根据函数的周期求ω，把所给的点的坐标代入求出Φ的值，从而确定出函数的解析式．
（Ⅱ）根据条件2a=4asinC-csinA，由正弦定理求得sinC的值，可得cosC的值，再由余弦定理求得c的值．
点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，两角和差的正弦公式、正弦定理和余弦定理的应用，两个向量的数量积的定义，属于中档题．