Question

19．如图，已知平面α∩平面β=l，α⊥β．A、B是直线l上的两点，C、D是平面β内的两点，且DA⊥l，CB⊥l，DA=4，AB=6，CB=8．P是平面α上的一动点，且有∠APD=∠BPC，则四棱锥P-ABCD体积的最大值是（　　）

• A． 48
• B． 16
• C． $24\sqrt{3}$
• D． 144

Answer 1

分析 由面面垂直的性质可得AD⊥PA，BC⊥PB，由∠APD=∠BPC可知PB=2PA，在平面α内建立坐标系求出P点的轨迹，得出P到直线l的最大距离，得出棱锥的最大体积．

解答 解：∵平面α∩平面β=l，α⊥β，DA⊥l，CB⊥l，DA?平面β，CB?平面β，
∴DA⊥平面α，CB⊥平面α，
∵PA?平面α，PB?平面α，
∴DA⊥PA，CB⊥PB．
∵∠APD=∠BPC，
∴$\frac{DA}{PA}=\frac{BC}{PB}$，即$\frac{4}{PA}=\frac{8}{PB}$，∴PB=2PA．
以直线l为x轴，AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，
则A（-3，0），B（3，0）．设P（x，y），则PA=$\sqrt{（x+3）^{2}+{y}^{2}}$，PB=$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$，
∴2$\sqrt{（x+3）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$，整理得（x+5）²+y²=16（y＞0）．
∴P点的轨迹为以（-5，0）为圆心，以4为半径的半圆．
∴当P到直线l的距离h=4时，四棱锥P-ABCD体积取得最大值．
∴棱锥的体积最大值为V=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABCD}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（4+8）×6×4$=48．
故选：A．

点评 本题考查了面面垂直的性质，轨迹方程，棱锥的体积计算，属于中档题．