Question

2．过椭圆$\frac{x^2}{16}$+$\frac{y^2}{12}$=1的左顶点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于点C，交y轴于点D，P为AC中点，定点Q满足：对于任意的k（k≠0）都有OP⊥DQ，则Q点的坐标为（-3，0）．

Answer 1

分析 直线的方程为y=k（x+4），与椭圆联立，得（x+4）[（4k²+3）x+16k²-12]=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质，结合已知条件能求出定点Q的坐标．

解答 解：直线的方程为y=k（x+4），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\\{y=k（x+4）}\end{array}\right.$，化简得（x+4）[（4k²+3）x+16k²-12]=0，
∴x₁=4，x₂=$-\frac{16{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，…（6分）
∴C（$-\frac{16{k}^{2}-12}{4{k}^{2}+3}$，$\frac{24k}{2{k}^{2}+3}$），
又∵点P为AC的中点，
∴P（$\frac{-16{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，$\frac{12k}{4{k}^{2}+3}$），
则k_OP=-$\frac{3}{4k}$（k≠0），
直线l的方程为y=k（x+4），令x=0，得D（0，4k），
假设存在定点Q（m，n）（m≠0）使得OP⊥DQ，则k_OP•k_DQ=-1，
即-$\frac{3}{4k}$•$\frac{4k-n}{0-m}$=-1，
∴（4m+12）k-3n=0恒成立
∴$\left\{\begin{array}{l}{4m+12=0}\\{-2n=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m=-3}\\{n=0}\end{array}\right.$，
因此定点Q的坐标为（-3，0），
故答案为：（-3，0）．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理、中点坐标公式、直线方程、直线垂直、椭圆性质的综合应用，考查计算能力，属于中档题．