Question

【题目】求平面直角坐标系中格点凸五边形(即每个顶点的纵、横坐标都是整数的凸五边形)的周长的最小值。

Answer 1

【答案】

【解析】

设此凸五边形的5个顶点依次为，坐标为，并用复数表示顶点为虚数单位。

记，则

1.的实部与虚部都是整数，且（从而）；

2.；

3.凸五边形的周长为。

由凸性知，任意两个不具有同一方向。由1知，若某个，满足，则只能是，

中模为1的个数至多只有4个：。

1.若中1的个数恰为4，由2知，余下一个为0，与1矛盾。

2.若中1的个数恰为3，剩下的两个都为（模为的至多只有4个，），则他们不会满足2，于是，此时，周长不小于。

3.若中恰有2个1，剩下的3个都为，如图所示，此时周长为。

4.其他情况，周长不小于。

综上可知，格点凸五边形周长的最小值为。