Question

【题目】已知矩形中，，，沿对角线将折起至，使得二面角为，连结。

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）推导出，从而，进而，

，折起后，即为，则仍有，，则即为二面角的平面角，即，连接，推导出平面，，从而平面，由此能证明平面平面。

（2）推导出，从而平面，即为二面角的平面角，推导出平面，，由此能求出二面角的余弦值。

（1）在矩形中，取中点，连接，与交于点。

则，与中，，

，

，即。

，。

折起后，即为，则仍有，，则即为二面角的平面角，即，连接。

所以在中，，即，即.

由前所证，，，，

平面，，而，平面，

平面平面。

（2）由（1）可得，且，为中点，则为直角三角形，

.

又，

平面，

即为二面角的平面角。

由（1），平面平面，

，

平面，

，

而，

，即二面角的余弦值为。