Question

【题目】已知数列{an}各项均不相同，a1＝1，定义，其中n，k∈N*．

（1）若，求；

（2）若bn＋1(k)＝2bn(k)对均成立，数列{an}的前n项和为Sn．

（i）求数列{an}的通项公式；

（ii）若k，t∈N*，且S1，Sk－S1，St－Sk成等比数列，求k和t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）；（ii）k＝2，t＝3．

【解析】

（1）当时，由新定义可得，利用累加法可得结果；

（2）（i）若bn＋1(k)＝2bn(k)对均成立，由新定义可得，从而得到数列{an}的通项公式；（ii）由（i）可知Sn＝2n－1．因为S1，Sk－S1，St－Sk成等比数列，

可得2t－2＝(2k－1)2－32k－2＋1对k分类讨论可知k和t的值．

（1）因为，

所以，

所以.

（2）（i）因为bn＋1(k)＝2bn(k)，

得 ，

令k＝1, ，……………①

k＝2，，……………②

由①得，……………③

②+③得，……………④

①+④得，

又，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，

所以．

（ii）由（i）可知Sn＝2n－1．

因为S1，Sk－S1，St－Sk成等比数列，

所以(Sk－S1)2＝S1(St－Sk)，即(2k－2)2＝2t－2k，

所以2t＝(2k)2－32k＋4，即2t－2＝(2k－1)2－32k－2＋1(*)．

由于Sk－S1≠0，所以k≠1，即k≥2．

当k＝2时，2t＝8，得t＝3．

当k≥3时，由(*)，得(2k－1)2－32k－2＋1为奇数，

所以t－2＝0，即t＝2，代入(*)得22k－2－32k－2＝0，即2k＝3，此时k无正整数解．

综上，k＝2，t＝3．