Question

【题目】如图，在四棱锥中，，底面为直角梯形，，分别为中点，且，.

（1）平面；

（2）若为线段上一点，且平面，求的值；

（3）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）连结，利用勾股定理逆定理可证明，又易证，可证明平面（2）连接，根据，平面可得，进而，利用为中点可得结论（3）取的中点连结，由（1）知，且，，建立空间直角坐标系，求平面，平面的法向量，计算其夹角即可.

（1）证明：连结

，为的中点

，且，

又，是中点，，

由已知，

，且是平面内两条相交直线

平面.

（2）连接，由已知底面为直角梯形，，

则四边形为平行四边形

所以

因为平面，平面，平面平面，

所以

所以

因为为中点，所以为中点

所以，又因为点为的中点.

所以.

（3）取的中点连结，由（1）知，且，，

如图，建立空间直角坐标系.

因为

所以，，

，

由于平面，所以平面的法向量

设平面的法向量，则有

即

令，则，，即

由题知二面角为锐二面角

所以二面角的大小为.