Question

已知f（x+

1

x

）=

x2+x+1

x2

，则f（x）=

 

．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：换元法

分析：用换元法求函数的解析式，令t=x+

1

x

，解出x，代入解析式中．

解答： 解：令t=x+

1

x

，则x²-tx+1=0，得x1=

t+ t2-4

2

，x2=

t- t2-4

2

，
当x=x₁时，f(t)=1+

1

x

+

1

x2

=1+

2

t+ t2-4

+(

2

t+ t2-4

)2=

(t+1)(t- t2-4 )

2

，
当x=x₂时，f（t）=1+

1

x

+

1

x2

=1+

2

t- t2-4

+(

2

t- t2-4

)2=

(t+1)(t+ t2-4 )

2

，
∴f(x)=

(t+1)(t- t2-4 )

2

，f(x)=

(t+1)(t+ t2-4 )

2

．
故答案为：f(x)=

(x+1)(x- x2-4 )

2

，f(x)=

(x+1)(x+ x2-4 )

2

．

点评：本题换元时，用t表示x，有两个值，要分别带入，考查了换元法．属于中档题．