Question

如图所示，已知椭圆C：

x2

4

+y²=1，在椭圆C上任取不同两点A，B，点A关于x轴的对称点为A′，当A，B变化时，如果直线AB经过x轴上的定点T（1，0），则直线A′B经过x轴上的定点为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出A，B的坐标：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），A′（x₁，-y₁），设出直线AB的方程，y=k（x-1）．联立椭圆的方程并消去y得到关于x的方程，根据韦达定理即可求x₁+x₂，x₁x₂，根据A′，B的坐标写出直线A′B的方程，并令y=0，便得到直线A′B与x轴交点的横坐标x=

y2x1+y1x2

y1+y2

，用x₁，x₂表示y₁，y₂并带入x即可求出x值，从而得到A′B经过x轴上的定点．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A′（x₁，-y₁）；
由题意可知直线AB的斜率存在，设为k，直线方程为：y=k（x-1）；
联立

y=k(x-1) x2 4 +y2=1

，消去y得，(

1

4

+k2)x2-2k2x+k2-1=0；
∴x1+x2=

2k2

1 4 +k2

，x1x2=

k2-1

1 4 +k2

；
直线A′B的方程为：y+y1=

y2+y1

x2-x1

(x-x1)；
∴令y=0，x=

y2x1+y1x2

y2+y1

；
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）；
∴y₂+y₁=k（x₁+x₂）-2k=

- k 2

1 4 +k2

；
y₂x₁+y₁x₂=k（x₂-1）x₁+k（x₁-1）x₂=

-2k

1 4 +k2

；
∴x=

-2k 1 4 +k2

- k 2 1 4 +k2

=4，即直线A′B经过x轴上的定点为（4，0）．
故答案为：（4，0）．

点评：考查关于x轴对称的点的坐标的关系，直线与椭圆的位置关系，直线的点斜式方程，以及韦达定理，求直线与x轴交点的方法：令y=0．