Question

1．已知：$tanα=-\frac{1}{3}$，$cosβ=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，α，β∈（0，π）．
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求函数$f（x）=\sqrt{2}sin（{x-α}）+cos（{x+β}）$的最值．

Answer 1

分析 （1）由cosβ及β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinβ的值，进而确定出tanβ的值，利用两角和与差的正切函数公式化简tan（α+β），将tanα和tanβ的值代入求出tan（α+β）的值，
 （2）利用同角三角函数基本关系式可求cosα，sinα，化简化简解析式可得f（x）=-$\sqrt{5}$sinx，利用正弦函数的性质可求其最大值，最小值．

解答 解：（1）∵cosβ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$＞0，β∈（0，π），
∴sinβ=$\sqrt{1-co{s}^{2}β}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴tanβ=2，又tanα=-$\frac{1}{3}$＜0，
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{-\frac{1}{3}+2}{1+\frac{2}{3}}$=1，
 （2）∵$tanα=-\frac{1}{3}$，α∈（0，π）．
∴cosα=-$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}α}}$=-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴$f（x）=\sqrt{2}sin（{x-α}）+cos（{x+β}）$=$\sqrt{2}$（-$\frac{3\sqrt{10}}{10}$sinx-cosx$\frac{\sqrt{10}}{10}$）+$\frac{\sqrt{5}}{5}$cosx-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$sinx=-$\sqrt{5}$sinx，
∴f（x）的最大值$\sqrt{5}$，最小值$-\sqrt{5}$．

点评 此题考查了两角和与差的三角函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，考查了计算能力和转化思想，熟练掌握公式是解本题的关键．