题目内容

已知a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^），观察下列运算a₁•a₂=log₂3•log₃4= $数学公式$ • $数学公式$ =2，
a₁•a₂•a₃•a₄•a₅•a₆=log₂3•log₃4•…•log₆7•log₇8= $数学公式$ • $数学公式$ •…• $数学公式$ • $数学公式$ =3．
…
定义使a₁•a₂•a₃•…•a_k为整数的k（k∈N^）叫做企盼数．试确定当a₁•a₂•a₃•…•a_k=2008时，企盼数k=________．

2²⁰⁰⁸-2
分析：由题意知a₁•a₂•…•a_k= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ •• $\text{[math]}$ =2008，由此解可得答案．
解答：由a₁•a₂••a_k= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ •• $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
=log₂（k+2）
=2008，
解之得k=2²⁰⁰⁸-2．
答案：2²⁰⁰⁸-2
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．

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