Question

已知a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*）我们把使乘积a₁•a₂•a₃…a_n为整数的数n叫做“成功数”，则在区间（1，2012）内的所有成功数的和为（　　）

A．1024

B．2003

C．2026

D．2048

Answer 1

分析：由题意可得，a₁•a₂…a_n=log₂3•log₃4…log_n+1（n+2）=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

•

lg5

lg4

…

lg(n+2)

lg(n+1)

=log2(n+2)，若使log₂（n+2）为整数，则n+2=2^k（k∈Z），则在（1，2012）内的所有整数可求，进而利用分组求和及等比数列的求和公式可求得结果．

解答：解：∵a_n=log_n+1（n+2），
∴a₁•a₂…a_n=log₂3•log₃4…log_n+1（n+2）
=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

•

lg5

lg4

…

lg(n+2)

lg(n+1)

=log2(n+2)
若使log₂（n+2）为整数，则n+2=2^k（k∈Z），
则在（1，2012）内的所有整数分别为：2²-2，2³-2，…，2¹⁰-2．
∴所求的“成功数”的和为：
2²-2+2³-2+…+2¹⁰-2
=（2²+2³+2⁴+…+2¹⁰）-2×9
=

4(1-29)

1-2

-2×9=2026．
故选C．

点评：本题以新定义“成功数”为切入点，主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质的应用，属于中档试题．