Question

已知an=logn+1(n+2)(n∈N*)我们把使乘积a₁a₂…a_n为整数的数n叫做“成功数”，则在区间（1，2011）内的所有成功数的和为（　　）

A．1024

B．2003

C．2026

D．2048

Answer 1

分析：由题意可得，a₁•a₂…a_n=log₂3•log₃4…log_n+1（n+2）=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

•

lg5

lg4

…

lg(n+2)

lg(n+1)

=log₂（n+2），若使log₂（n+2）为整数，则n+2=2^k，在（1，2010]内的所有整数可求，进而利用分组求和及等比数列的求和公式可求．

解答：解：∵a_n=log_n+1（n+2），
∴a₁•a₂…a_n=log₂3•log₃4…log_n+1（n+2）=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

•

lg5

lg4

…

lg(n+2)

lg(n+1)

=log₂（n+2），
若使log₂（n+2）为整数，则n+2=2^k，在（1，2010）内的所有整数分别为：2²-2，，2³-2，…，2¹⁰-2，
∴所求的数的和为2²-2+2³-2+…+2¹⁰-2=

4(1- 2 9)

1-2

-2×9=2026，
故选C．

点评：本题以新定义“成功数”为切入点，主要考查了对数的换底公式及对数的运算性质的应用，属于中档试题．