Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn ， a1=10，an+1=9Sn+10．
（1）求证：{lgan}是等差数列；
（2）设 对所有的n∈N*都成立的最大正整数m的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：依题意， ，

当n≥2时，an=9Sn﹣1+10①又an+1=9Sn+10②

②﹣①整理得： 为等比数列，

且an=a1qn﹣1=10n，∴lgan=n∴lgan+1﹣lgan=（n+1）﹣n=1，

即{lgan}n∈N*是等差数列．

（2）解：由（1）知，

= ∴ ，

依题意有 ，

故所求最大正整数m的值为5．

【解析】（1）依题意可求得a2的值，进而求得 的值，进而看当n≥2时，根据an=Sn﹣Sn﹣1求得 判断出数列为等比数列，进而根据等比数列的性质求得an ， 进而分别表示出lgan和lgan+1 ， 根据lgan+1﹣lgan=1，判断出lgan}n∈N*是等差数列．（2）根据（1）中求得an利用裂项法求得Tn ， 进而根据3﹣ ≥ ，进而根据 求得m的范围．判断出m的最大正整数．
【考点精析】利用等差关系的确定和数列的前n项和对题目进行判断即可得到答案，需要熟知如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么这个数列就叫做等差数列；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．