Question

19．已知关于x的方程$2{x^2}-（{\sqrt{3}+1}）x+m=0$的两个根为sinθ，cosθ，θ∈（0，2π）．
（1）求$\frac{sinθ}{1-cosθ}+\frac{cosθ}{1-tanθ}$的值；
（2）求m的值；
（3）求方程的两个根及此时θ的值．

Answer 1

分析 （1）（2）（3）根据一元二次方程的根与系数的关系，可得sinθ，cosθ的关系．解出sinθ，cosθ的值，即可求解$\frac{sinθ}{1-cosθ}+\frac{cosθ}{1-tanθ}$的值；

解答 解：x的方程$2{x^2}-（{\sqrt{3}+1}）x+m=0$的两个根为sinθ，cosθ．
可得sinθ×cosθ=$\frac{m}{2}$，sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
∵sin²θ+cos²θ=1，θ∈（0，2π）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{sinθ=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{cosθ=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{sinθ=\frac{1}{2}}\\{cosθ=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$
那么tanθ=$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（1）$\frac{sinθ}{1-cosθ}+\frac{cosθ}{1-tanθ}$=$\frac{3+5\sqrt{3}}{4}$
（2）由sinθ×cosθ=$\frac{m}{2}$，
可得m=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
（3）当方程的两个根分别$\left\{\begin{array}{l}{sinθ=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{cosθ=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$时，此时θ=$\frac{π}{3}$．

当方程的两个根分别$\left\{\begin{array}{l}{sinθ=\frac{1}{2}}\\{cosθ=\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$时，此时θ=$\frac{π}{6}$．

点评 本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，同角三角函数的关系式的计算．属于中档题．