Question

已知正数x，y满足：x+y+3=xy，若对任意满足条件的x，y：（x+y）²-a（x+y）+1≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：先根据正数x，y满足：x+y+3=xy，确定x+y∈[6，+∞），再换元，分离参数，利用基本不等式，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：由x+y+3=xy≤

(x+y)2

4

⇒(x+y)2-4(x+y)-12≥0，可得x+y∈[6，+∞）．
令t=x+y，则t²-at+1≥0在[6，+∞）恒成立，即a≤t+

1

t

在[6，+∞）恒成立，
又因f(t)=t+

1

t

在[6，+∞）单调递增.⇒f(t)min=f(6)=

37

6

∴a≤

37

6

点评：本题考查求实数a的取值范围，考查基本不等式的运用，正确分离参数是关键．