Question

已知f₁（x）=log₄x，f₂（x）=log₆x，f₃（x）=log₉x，若f₁（n）=f₂（m）=f₃（m+n），则

m

n

=

 

．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：由题意，log₄n=log₆m=log₉（m+n）=t，则n=4^t，m=6^t，m+n=9^t，可得4^t+6^t=9^t，即1+(

3

2

)t=(

3

2

)2t，
设y=(

3

2

)t（y＞0），则y²-y-1=0，求出y，即可得出结论．

解答： 解：由题意，log₄n=log₆m=log₉（m+n）=t，则n=4^t，m=6^t，m+n=9^t，
∴4^t+6^t=9^t，
∴1+(

3

2

)t=(

3

2

)2t，
设y=(

3

2

)t（y＞0），则y²-y-1=0，
∵y＞0，∴y=

1+ 5

2

，
∴

m

n

=(

3

2

)t=

1+ 5

2

．
故答案为：

1+ 5

2

．

点评：本题考查函数与方程的综合运用，考查对数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．