Question

5．如图，在Rt△AOB中，∠OAB=$\frac{π}{6}$，斜边AB=4，D是AB中点，现将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，
（1）求圆锥的侧面积；
（2）求直线CD与平面BOC所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，qj 圆锥的侧面积S_侧=πrl=2×4×π=8π．
（2）取OB的中点E，连结DE、CE，说明∠DCE是直线CD与平面BOC所成的角，在Rt△DEC中，求解即可．

解答 解：（1）∵在Rt△AOB中，$∠OAB=\frac{π}{6}$，斜边AB=4，D是AB中点，
将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，
∴圆锥的侧面积S_侧=πrl=2×4×π=8π．

（2）取OB的中点E，连结DE、CE，
则DE∥AO，∴DE⊥平面BOC，
∴∠DCE是直线CD与平面BOC所成的角，
在Rt△DEC中，CE=$\sqrt{5}$，DE=$\sqrt{3}$，
tan∠DCE=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴$∠DCE=arctan\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∴直线CD与平面BOC所成角的大小为arctan$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查旋转体的表面积的求法，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力逻辑推理能力以及计算能力．