Question

15．在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且$AB=\sqrt{2}$，EF=1，$CD=\sqrt{3}$．若$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=15$，则$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$的值为$\frac{31}{2}$．

Answer 1

分析 画出图形，结合图形，先求出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{DC}$的值，再利用$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=15，即可求出$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$的值．

解答 解：如图所示，
设AB∩DC=O，∵$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AE}$+$\overrightarrow{EF}$+$\overrightarrow{EB}$=$\overrightarrow{EF}$+$\frac{\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}}{2}$，$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{DE}$+$\overrightarrow{EF}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow{EF}$+$\frac{\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AD}}{2}$，
两式相加得$\overrightarrow{EF}$=$\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}}{2}$；
∵AB=$\sqrt{2}$，EF=1，CD=$\sqrt{3}$，
平方得1=$\frac{2+3+2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{DC}}{4}$；
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{DC}$=-$\frac{1}{2}$；
又∵$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$=15，
即（$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OA}$）•（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$）=15；
∴$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=15，
∴$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=15+$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）•（$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OB}$）=$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$
=（15+$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$）-$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OD}$
=15+$\overrightarrow{OD}$•（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）+$\overrightarrow{OC}$•（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OB}$）
=15+$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{BA}$
=15+$\overrightarrow{AB}$•（$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OC}$）
=15+$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$
=15-$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{DC}$
=15-（-$\frac{1}{2}$）
=$\frac{31}{2}$．
故答案为：$\frac{31}{2}$．

点评 本题考查了两个向量的加减运算的应用问题，也考查了平面向量的几何意义以及平面向量的数量积的应用问题，是综合性题目．