Question

8．若函数f（x）对?x₁，x₂∈（0，+∞），有f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，且f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）成立，则称函数f（x）为“守法函数”．给出下列四个函 数：①y=x²     ②y=log₂（x+1）③y=2^x-1      ④y=cosx ⑤y=$\frac{1}{x}$
其中“守法函数”是①③．（写出所有符合要求的函数的编号）

Answer 1

分析 分别判断5个函数是否满足两个条件f（x₁）＞0，f（x₂）＞0和f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）成立，然后确定“守法函数的序号”．

解答 解：①函数y=x²，当x＞0时，y＞0
f（x₁）+f（x₂）-f（x₁+x₂）=${{x}_{1}}^{2}$+x₂²-（x₁+x₂）²=-2x₂x_1^＜0
∴f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）
故①是“守法函数”；
②若f（x）=log₂（x+1），对于任意x₁＞0，x₂＞0都有f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，
设x₁=x₂=1，则f（x₁）+f（x₂）=1+1=2，
而f（x₁+x₂）=log₂3＜2，
所以f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）不成立，
所以②不是“守法函数”．
③若f（x）=2^x-1，对于任意x₁＞0，x₂＞0都有f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，
f（x₁）+f（x₂）-f（x₁+x₂）=2^x₁-1+2^x₂-1-2^x₁+x₂₊1＜0，
则③是“守法函数”．
④若f（x）=cosx，因为f（x）=cosx∈[-1，1]，
所以任意x₁＞0，x₂＞0，f（x₁）＞0，f（x₂）＞0不一定成立，
所以④不是“守法函数”；
⑤函数y=$\frac{1}{x}$，?x₁，x₂∈（0，+∞），有f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，
而f（x₁）+f（x₂）-f（x₁+x₂）=$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{{x}_{1}+x}_{2}}$=$\frac{{{x}_{1}x}_{2}{{+x}_{1}}^{2}{{+x}_{2}}^{2}}{{{{x}_{2}x}_{1}（x}_{1}{+x}_{2}）}$＞0，
故⑤不是“守法函数”；
故答案为：①③．

点评 本题考查了对数函数、三角函数、指数函数的单调性以及值域，运算量较大，综合性较强．