Question

9．如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，M，N分别是AB，AC边上的点，AM=AN，D是BC的中点，AD与MN交于点E，将△ABD沿AD折起，得到如图2所示的三棱锥A-BCD，其中$BC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

（1）证明：CD⊥平面ABD；
（2）当$AM=\frac{2}{3}$时，求三棱锥E-MDN的体积V_E-MDN．

Answer 1

分析 （1）由BD=CD=$\frac{1}{2}$，BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$可得BD⊥CD，且AD⊥CD，可推得CD⊥平面ABD；
（2）由AM=AN可知$\frac{AM}{AB}=\frac{AE}{AD}=\frac{ME}{BD}=\frac{EN}{CD}$，从而可求得ME，EN，ED的长，且ME、EN、ED两两垂直，V_E-MDN=V_棱锥D-EMN．

解答 解：（1）∵三角形ABC等边三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥CD，BD=CD=$\frac{1}{2}$，
∵BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴BD²+CD²=BC²，∴BD⊥CD，
∵AD∩BD=D，AD?平面ABD，BD?平面ABD，
∴CD⊥平面ABD．
（2）∵AM=AN，AB=AC=1，
∴ME∥BD，EN∥CD，
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{AE}{AD}=\frac{ME}{BD}=\frac{EN}{CD}$=$\frac{AN}{AC}$，
ME⊥EN，DE⊥ME，DE⊥EN，
∴ME=EN=$\frac{1}{3}$，
∵AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}-ED}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{AM}{AB}$=$\frac{2}{3}$，
∴ED=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∵V_棱锥E-MDN=V_棱锥D-EMN=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{2}$×EM×EN）×ED=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{324}$．

点评 本题考查了棱锥的体积计算，找到合理的底面和高是解决体的关键．