Question

17．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是AB，BB₁点的中点，且AA₁=AC=BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB．
（1）证明：BC₁∥平面A₁CD；
（2）求直线CE与平面A₁CD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连结AC₁，且AC₁∩A₁C=F，连结DF，由三角形中位线定理得DF∥BC₁，由此能证明BC₁∥平面A₁CD．
（2）推导出DE⊥平面A₁CD，得到∠DCE是直线CE与平面A₁CD所成角，且DE⊥CD，由此能求出直线CE与平面A₁CD所成角的正弦值．

解答 （1）证明：连结AC₁，且AC₁∩A₁C=F，
矩形ACC₁A₁中，F为AC₁中点，又D为AB的中点，
∴连结DF，则DF∥BC₁，
∵DF?平面A₁CD，且BC₁?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD．
（2）解：∵AC=BC，且D为AB的中点，
∴CD⊥AB，又A₁A⊥CD，且A₁A∩AB=A，
∴CD⊥平面ABB₁A₁，CD?平面A₁CD，
∴平面A₁CD⊥平面ABB₁A₁，且交线为A₁D，
∴在矩形ABB₁A₁中，连结DE，由已知得DE⊥A₁D，
∴DE⊥平面A₁CD，
∴CD是CE在平面A₁CD内的射影，
∴∠DCE是直线CE与平面A₁CD所成角，且DE⊥CD，
设AC=BC=1，则CE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sin$∠DCE=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴直线CE与平面A₁CD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．