Question

如图，F₁、F₂是椭圆C₁与双曲线C₂：

x2

4

-

y2

5

=1的公共焦点，A、B分别是椭圆C₁和双曲线C₂在第二、四象限的公共点，若四边形AF₁BF₂为矩形，则椭圆C₁的离心率是（　　）

• A、

  3

  5

• B、

  3

  2

• C、

  3

  14

• D、

  3 14

  14

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设|AF₁|=x，|AF₂|=y，利用双曲线的定义，四边形AF₁BF₂为矩形，可求出x+y的值，进而可得椭圆的几何量，即可求出椭圆的离心率．

解答： 解：设|AF₁|=x，|AF₂|=y，
∵点A为双曲线C₂：

x2

4

-

y2

5

=1上的点，
∴|AF₂|-|AF₁|=2a=4，即y-x=4；①
又四边形AF₁BF₂为矩形，
∴|AF₁|²+|AF₂|²=|F₁F₂|²，即x²+y²=36，②
由①②得：解得x+y=2

14

，
设椭圆C₁的实轴长为2m，焦距为2n，
则2m=|AF₁|+|AF₂|=x+y=2

14

，2n=6，
∴椭圆C₁的离心率e=

n

m

=

6

2 14

=

3 14

14

．
故选：D．

点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF₁|+|AF₂|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．