Question

已知函数f（x）对?a，?b满足f（a+b）=f（a）+f（b），并且当x＞0时，f（x）＞0；
（1）求f（0）；
（2）求证：f（x）为奇函数；
（3）判断并证明函数的单调性．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）赋值法，令a=b=0代入即可求出f（0）；
（2）令a=x，b=-x，代入原式，即可得到f（-x）=-f（x），问题获证；
（3）比照函数的单调性定义，对a，b恰当的赋值，构造出f（x₂）-f（x₁），再判断符号即可．

解答： 解：（1）令a=b=0，代入f（a+b）=f（a）+f（b），得f（0）=0；
（2）令a=x，b=-x，代入原式，得f（x-x）=f（-x）+f（x）=f（0）=0，
所以f（-x）=-f（x），所以函数f（x）是奇函数；
（3）由f（a+b）=f（a）+f（b）得f（a+b）-f（a）=f（b），
所以，任取x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁），
因为x₂-x₁＞0且当x＞0时，f（x）＞0，
所以f（x₂-x₁）＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，
所以f（x₂）＞f（x₁），
所以原函数在定义域内是单调递增函数．

点评：本题第三问研究函数的单调性用的是定义法，因此怎样将定义与给的“f（a+b）=f（a）+f（b），并且当x＞0时，f（x）＞0”有机结合起来是解题关键，处理的方法是将单调性的定义式与给的条件等式进行比照，合理赋值，则可打开思路．