Question

17．已知：函数f（x）=|1-3x|+3+ax．
（1）若a=-1，解不等式f（x）≤5；
（2）若函数f（x）有最小值，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若a=-1，不等式f（x）≤5，即为|3x-1|≤x+2，去掉绝对值解不等式f（x）≤5；
（2）分析知函数f（x）有最小值的充要条件为$\left\{{\begin{array}{l}{3+a≥0}\\{a-3≤0}\end{array}}\right.$，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=-1时，f（x）=|3x-1|+3-x，所以不等式f（x）≤5，即为|3x-1|≤x+2，讨论：
当$x≥\frac{1}{3}$时，3x-1-x+3≤5，解之得$\frac{1}{3}≤x≤\frac{3}{2}$；
当$x＜\frac{1}{3}$时，-3x+1-x+3≤5，解之得$-\frac{1}{4}≤x＜\frac{1}{3}$，
综上，原不等式的解集为$\left\{{x|-\frac{1}{4}≤x≤\frac{3}{2}}\right\}$…（5分）
（2）$f（x）=|{3x-1}|+ax+3=\left\{{\begin{array}{l}{（{3+a}）x+2，x≥\frac{1}{3}}\\{（{a-3}）x+4，x＜\frac{1}{3}}\end{array}}\right.$，
分析知函数f（x）有最小值的充要条件为$\left\{{\begin{array}{l}{3+a≥0}\\{a-3≤0}\end{array}}\right.$，即-3≤a≤3…（10分）

点评 本题考查不等式的解法，考查绝对值的几何意义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．